Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）當時，證明：函數只有一個零點；

（3）若函數的極大值等于，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）求得函數在處的導數，由此求得切線方程.

（2）通過求的二階導數，研究其一階導數，進而求得函數的單調區間，由此證得函數只有一個零點.

（3）當時根據（2）的結論證得結論成立.當，根據的二階導數，對分成三種情況，利用的一階導數，結合零點的存在性定理，求得實數的取值范圍.

（1）當時，，，，，所以在處的切線方程為.

（2），令，

當時，，在上單調遞減，又，

所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減

所以，所以只有一個零點.

（3）①當時，由（2）知，的極大值為，符合題意；

②當時，令，得，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，注意到，

（ⅰ）當時，，又.

所以存在，使得，當時， ，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以的極大值為，符合題意；

（ⅱ）當時，恒成立，在上單調遞減，無極值，不合題意；

（ⅲ）當時，，又，令

，在上單調遞減，

所以，所以，

存在，使得，

當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以的極大值為，且，不合題意.

綜上可知，的取值范圍是.