Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為.

（1）求軌跡的方程；

（2）若點(diǎn)在軌跡上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，且總有，

求的取值范圍；

（3）過點(diǎn)的動(dòng)直線交軌跡于兩點(diǎn)，試問:在此坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得無論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，理由見解析

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，由化簡(jiǎn)求解；（2）圓心.根據(jù)圓與橢圓的位置關(guān)系，分兩種情況討論:①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，設(shè)，分別利用三角代換求得其最值，即可得到取值范圍；（3）把代入橢圓的方程可得:，取點(diǎn)時(shí)滿足.然后證明:在此坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)，使得無論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以為直徑的圓恒過點(diǎn)即可.

（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可得:，

即:.

（2）圓心

:①當(dāng)時(shí)，∵總有，

∴

.②當(dāng)時(shí)，設(shè)，總有，

所以

，

∴.

綜上可得:的取值范圍是∪.

（3）把代入橢圓的方程可得:，

解得.，所以，，取點(diǎn)時(shí)滿足.

下面證明:存在一個(gè)定點(diǎn)，使得無論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以為直徑的圓恒過點(diǎn).

設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線的方程為:，.

聯(lián)立，化為:，

∴，.

則

∴在此坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)，使得無論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以為直徑的圓恒過點(diǎn).