Question

【題目】已知.

（1）試討論函數的單調性；

（2）若使得都有恒成立，且，求滿足條件的實數的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）.

【解析】

（1）求出的定義域，然后對求導，再分和兩種情況求出單調區間即可；

（2）根據條件可知，函數存在最小值且，求出的最小值，求出使得時，的值即可．

解：（1）由，得.

①當時，在上恒成立，

在上單調遞增；

②當時，由得，由，得，

在上單調遞減，在上單調遞增.

綜上：①當時，在上單調遞增，無遞減區間；

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）由題意函數存在最小值且，

①當時，由（1）上單調遞增且，

當x時，，不符合條件；

②當時，在上單調遞減，在 上單調遞增，

，

只需即，

記則，

由得，由得，

在上單調遞增，在上單調遞減，

，

即滿足條件的取值集合為.