Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AB=4，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中點．

（1）求證：平面CFM⊥平面BDF；
（2）若點N為線段CE的中點，EC=2，FD=3，求證：MN∥平面BEF．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：直角梯形ABCD中，AB∥CD，BC=2，AB=4，且M是AB的中點，

∴BM=CD，∴四邊形BCDM是平行四邊形，

又BC=CD=2，∴平行四邊形BCDM是菱形；

∴BD⊥CM，

又FD⊥底面ABCD，CM平面BCDM，∴FD⊥CM，

且FD∩BD=D，

∴CM⊥平面BDF，

有CM平面CFM，

∴平面CFM⊥平面BDF；

（2）

過點N作NP∥EF，交DF與點P，連接PM，如圖所示；

∵EC∥FD，∴四邊形EFPN是平行四邊形，

又點N為線段CE的中點，EC=2，FD=3，

∴FP= EC=1，

PD=EC=2，

∴PE∥CD，且PE=CD，

又BM∥CD，且BM=CD，

∴BM∥PE，且PE=BM，

∴四邊形BEPM為平行四邊形，

∴PM∥BE；

又PM平面BEF，BE平面BEF，∴PM∥平面BEF；

同理，PM∥平面BEF，

又PM∩PN=P，PM平面PMN，PN平面PMN，

∴平面PMN∥平面BEF，

又MN平面PMN，∴MN∥平面BEF．

【解析】（1）證明四邊形BCDM是菱形，對角線BD⊥CM，再證明FD⊥CM，即可證明CM⊥平面BDF，從而得平面CFM⊥平面BDF；（2）過點N作NP∥EF，交DF與點P，連接PM，證明平面PMN∥平面BEF，即可證明MN∥平面BEF．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)，還要掌握平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)的相關知識才是答題的關鍵．