Question

【題目】已知橢圓： 的短軸長為，右焦點為，點是橢圓上異于左、右頂點的一點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與直線交于點，線段的中點為，證明：點關于直線的對稱點在直線上．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由短軸長為，得，結合離心率及可得橢圓的方程；

（Ⅱ）“點關于直線的對稱點在直線上”等價于“平分”，設出直線的方程為，可解出， 的坐標，聯立直線與橢圓的方程可得點坐標，分為當軸時，即可求得的角平分線所在的直線方程，可得證，當時，利用點到直線的距離可求出點到直線的距離，即可得結果.

試題解析：解：（Ⅰ）由題意得 解得， 所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）“點關于直線的對稱點在直線上”等價于“平分”．

設直線的方程為，則．

設點，由得，得

① 當軸時， ，此時．所以．

此時，點在的角平分線所在的直線或，即平分．

② 當時，直線的斜率為，所以直線的方程為，所以點到直線的距離

．

即點關于直線的對稱點在直線上．