Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，的面積等于．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據的面積等于和，求出，進一步求出或，根據三角形兩邊之和大于第三邊取，由知，進一步證明平面，從而.

（Ⅱ）先求出，再根據等體積法，求出點到平面的距離，則直線與平面所成角的正弦值可求.

解：（Ⅰ）如圖，

由的面積等于，

，，

，

在中，結合余弦定理可知，

當，

，

當時，

，

所以或，

又因為在中，，

因為，所以，

又，

則，所以，

又，所以，

又，所以平面，

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，

得平面平面，作于點，

可知平面，由，

，

所以，，

所以，

在，邊上的高為，

，，

設點到平面的距離，

由等體積法，

可得

設直線與平面所成的角為，

則．