Question

【題目】已知橢圓 的離心率為，兩焦點與短軸的一個端點的連線構成的三角形面積為.

(I)求橢圓的方程;

(II)設與圓相切的直線交橢圓于,兩點(為坐標原點)，的最大值.

Answer 1

【答案】I. ；Ⅱ.2

【解析】

I:根據離心率得到，由三角形面積公式得到，進而求出參數值，和方程；Ⅱ：當ABx軸時，，當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為，根據直線和圓的位置關系得到，由=，借助于韋達定理表示求解即可.

I.由題設：

兩焦點與短軸的一個端點的連線構成的三角形面積為，

解得

∴橢圓C的方程為

Ⅱ.設

1.當ABx軸時，

2.當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為

由已知，得

設三角形OAB的高為h即圓的半徑,直線和圓的切點為M點，根據幾何關系得到：=，

把代入橢圓方程消去y，

整理得,

有

得

當且僅當，即時等號成立.

當時，

綜上所述