Question

設函數f（x）=x²-2|x|-1 （-3≤x≤3），
（1）證明f（x）是偶函數；
（2）畫出這個函數的圖象；
（3）指出函數f（x）的單調區間，并說明在各個單調區間上f（x）是增函數還是減函數；
（4）求函數的值域．

Answer 1

分析：（1）由-3≤x≤3得到函數的定義域關于原點對稱，求出f（-x）化簡得到與f（x）相等得證；
（2）討論x的取值分別得到f（x）的解析式，畫出函數圖象即可；
（3）在函數圖象上得到函數的單調區間，分別指出增減函數區間即可；
（4）分區間[-3，0）和（0，3]上分別利用二次函數求最值的方法得到函數的最值即可得到函數的值域．

解答：解：：（1）證明∵x∈[-3，3]，
∴f（x）的定義域關于原點對稱．
f（-x）=（-x）²-2|-x|-1
=x²-2|x|-1=f（x），
即f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數．

（2）當x≥0時，f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
當x＜0時，f（x）=x²+2x-1=（x+1）²-2，
即f（x）=

(x-1)2=2      (0≤x≤3) (x+1)2-2      (-3≤x≤0)

根據二次函數的作圖方法，可得函數圖象如圖．

（3）函數f（x）的單調區間為[-3，-1），[-1，0），[0，1），[1，3]．
f（x）在區間[-3，-1）和[0，1）上為減函數，在[-1，0），[1，3]上為增函數．
（4）當x≥0時，函數f（x）=（x-1）²-2的最小值為-2，最大值為f（3）=2；
當x＜0時，函數f（x）=（x+1）²-2的最小值為-2，最大值為f（-3）=2．故函數f（x）的值域為[-2，2]．

點評：考查學生會利用數形結合的數學思想解決實際問題，會證明函數的奇偶性，會根據圖象得出函數的單調區間，會求函數的值域．