Question

【題目】已知直線的方程為，拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上到直線距離最小的點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）(1,2) （2）9x+3y-7=0

【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和二次函數(shù)的性質(zhì)得出P點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由向量坐標(biāo)化得到M(1,-)，設(shè)出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入拋物線，兩式做差得到斜率，由點(diǎn)斜式得到直線方程.

(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則y02=4x0，所以，點(diǎn)P到直線的距離：

d ====≥

當(dāng)且僅當(dāng)y0=2時(shí)取最小值，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2).

(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1,y1）因?yàn)?/span>=3, 又點(diǎn)P(1,2),又F(1,0)可得：(0，-2)=3(x1-1,y1-0)

經(jīng)計(jì)算得：點(diǎn)M(1,-)

設(shè)點(diǎn)A(x2,y2)點(diǎn)B（x3,y3）,于是

兩式相減可得：(y3- y2)( y3+y2)=4(x3-x2) 化簡(jiǎn)得： =,

所以k=-3

于是，y+=-3(x-1),整理得9x+3y-7=0