Question

【題目】已知：函數．

（）求函數的極值．

（）證明：當時，．

（）當時，方程無解，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：

（1）根據導函數判斷函數的單調性，然后可得極值．（2）構造函數，利用導數證明是上的增函數，故可得當時，，從而證得不等式成立．（3）由當時，方程無解，可得當時，恒成立．然后根據分類討論或分離參數可得實數的取值范圍為．

試題解析：

（）∵，

∴，

令，得，

當時，,單調遞減，

當時，,單調遞增．

∴當時，函數有極小值，且極小值為，無極大值．

（）證明：設函數，則，

由（）知在取得極小值，也為最小值，

∴，

∴是上的增函數，

∴當時，，

∴．

（）當時，方程無解，

即時，無解，

即時，恒成立．

令，

則，

①時，，在遞增，故，滿足題意；

②時，由（）得時符合題意．

綜上所述，．

∴實數的取值范圍為.