Question

【題目】定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱函數是上的有界函數，其中稱為函數的上界．已知函數．

（1）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；

（2）若函數在上是以為上界的有界函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）不是有界函數，理由見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數在區間上的值域，結合題中定義判斷即可；

（2）由題意可得，換元，將問題轉化為對任意的恒成立，結合參變量分離法可求得實數的取值范圍.

（1）當時，，

當時，，則，

所以，函數在上的值域為，

故不存在常數，使得成立，

因此，函數在上不是有界函數；

（2）函數在上是以為上界的有界函數，即，

令，則，即，．

由得，

令，則函數在上單調遞減，所以；

由得，

令，函數在上單調遞增，所以.

所以.

因此，實數的取值范圍是.