Question

【題目】已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線與拋物線交于，兩點，過這兩點分別作拋物線的切線，且這兩條切線相交于點．

（1）若點的坐標為，求的值；

（2）設線段的中點為，過的直線與線段為直徑的圓相切，切點為，且直線與拋物線交于，兩點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由定義可得，設切線的方程為，代入，得，由得，分類討論即可求出答案；

（2）由（1）可得點以線段為直徑的圓的方程為，根據對稱性，不妨設直線的斜率為正數，由可求得，聯立直線與拋物線方程并整理得，設，，利用韋達定理即可求出答案．

解：（1）∵拋物線的焦點到準線的距離為，

∴，故拋物線的方程為，

設切線的方程為，

代入，得，

由得，

當時，點的橫坐標為，則，

當時，同理可得，

綜上可得；

（2）由（1）知，，，

∴以線段為直徑的圓的方程為，

根據對稱性，不妨設直線的斜率為正數，

∵為直線與圓的切點，

∴，，∴，

∴，，

∴直線的方程為，

由，整理得，

∵，∴，

設，，則，，

∴，

∵，∴，

∴，

∴．