Question

【題目】設函數f(x)＝(x＋1)ln x－2x.

(1)求函數的單調區間；

(2)設h(x)＝f′(x)＋，若h(x)>k(k∈Z)恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）在(0，＋∞)上單調遞增．（2）0

【解析】(1)函數的定義域為(0，＋∞)．

f′(x)＝ln x＋－1，不妨令g(x)＝ln x＋－1，g′(x)＝－＝，

當x>1 ，g′(x)>0，函數g(x)＝f′(x)單調遞增，又因為f′(x)>f′(1)＝0，所以x>1，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；

當0<x<1，g′(x)<0，g(x)＝f′(x)單調遞減，

又因為f′(x)>f′(1)＝0，所以0<x<1，f′(x)>0.

函數f(x)單調遞增．

所以函數y＝f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．

(2)h(x)＝ln x＋－1＋，h′(x)＝－－＝，設φ(x)＝xex－ex－x2，φ′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，當x∈(0，ln 2)，φ′(x)<0，函數φ(x)單調遞減，

又因為φ(x)<φ(0)＝－1<0，所以0<x<ln 2，h′(x)<0，函數h(x)單調遞減．

當x∈(ln 2，＋∞)，φ′(x)>0，函數φ(x)單調遞增，又因為φ(x)>φ(ln 2)＝2ln 2－2－(ln 2)2，又φ(1)＝－1<0，φ(2)＝e2－4>0，故存在x0∈(1,2)，使得φ(x)＝0，即x0ex0－ex0－＝0，在(0，x0)上，φ(x)<0，在(x0，＋∞)上，φ(x)>0.

即h(x)在(0，x0)上遞減，在(x0，＋∞)上遞增．

所以有h(x)≥h(x0)＝ln x0＋－1＋，又＝－，所以h(x)≥h(x0)＝ln x0＋－1＋＝ln x0＋－－1，不妨令M(x)＝ln x＋－－1，當x∈(1,2)時，M′(x)＝.

M′(x)＝＝>0恒成立，所以，M(x)是單增函數，又M(1)＝0，M(2)＝ln 2－<1，

所以有1>h(x0)＝ln x0＋－－1>0.

所以k≤0，所以k的最大值為0.