Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，且函數(shù)g（x）=

1

2

x²+nx+mf′（x）（m，n∈R）當且僅當在x=1處取得極值，其中f′（x）為f（x）的導函數(shù)，求m的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（

1

3

，3）內(nèi)的圖象上存在兩點，使得在該兩點處的切線相互垂直，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某點取得極值的條件,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0），當a＞0時，令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45  °，則f′（2）=1，即a=-2；  g（x）在x=1處有極值，故g′（1）=0，從而可得n=-1-2m，討論m的范圍得出即可；
 （3）由f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0）得（0，1）與（1，+∞）分別為f（x）的兩個不同的單調(diào)區(qū)間，設存在的兩點分別為（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），可得（2a²-1）x₂＞a²，進而求出a的范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0），
當a＞0時，令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45  °，
則f′（2）=1，即a=-2；                     
∴g（x）=

1

2

x²+nx+m（2-

2

x

），
∴g（x）=x+n+

2m

x2

=

x3+nx2+2m

x2

∵g（x）在x=1處有極值，
故g′（1）=0，
從而可得n=-1-2m，
則g′（x）=

x3+nx2+2m

x2

=

(x-1)(x2-2mx-2m)

x2

又∵g（x）僅在x=1處有極值，
∴x²-2mx-2m≥0在（0，+∞）上恒成立，
當m＞0時，由-2m＜0，
即?x₀∈（0，+∞），
使得x02-2mx₀-2m＜0，
∴m＞0不成立，
故m≤0，
又m≤0且x∈（0，+∞）時，x²-2mx-2m≥0恒成立，
∴m≤0；                               
（3）由f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0）得（0，1）與（1，+∞）分別為f（x）的兩個不同的單調(diào)區(qū)間，
∵f（x）在兩點處的切線相互垂直，
∴這兩個切點一定分別在兩個不同單調(diào)區(qū)間內(nèi)．   
故可設存在的兩點分別為（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），
其中

1

3

＜x₁＜1＜x₂＜3，
由該兩點處的切線相互垂直，
得

a(1-x1)

x1

-

a(1-x2)

x2

=-1，
即：

1-x1

x1

=-

1

a2

-

x2

1-x2

，而

1-x1

x1

∈（0，2），
故-

1

a2

-

x2

1-x2

∈（0，2），
可得（2a²-1）x₂＞2a²，
由x₂＞0得2a²-1＞0，
則x₂＞

2a2

2a2-1

，
又1＜x₂＜3，
則

2a2

2a2-1

＜3，
即a²＞

3

4

，
∴a的取值范圍為（-∞，-

3

2

）∪（

3

2

，+∞）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，解不等式，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題．