Question

一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內壁FG和外壁BC都是半徑為1m的四分之一圓弧，AB，DC分別與圓弧BC相切于B，C兩點，EF∥AB，GH∥CD且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m．
（1）若水平放置的木棒MN的兩個端點M，N分別在外壁CD和AB上，且木棒與內壁圓弧相切于點P，設∠CMN=θ，若θ=

π

4

，試求出木棒MN的長度a；
（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，請問木棒長度能否大于a，并說明理由．

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：解三角形

分析：（1）如設圓弧FG所在的圓的圓心為Q，過Q點作CD的垂線，垂足為點T，且交MN或其延長線于S，并連結PQ，再過點N作TQ的垂線，垂足為W，在Rt△NWS中，由WN和θ表示出NS，因為MN與圓弧FG切于點P，所以PQ⊥MN，進而在Rt△QPS中分別表示出QS，QT-QS，然后對S在TG上，和在線段GT的延長線上，分類討論，分別表示出MN．
（2）設sinθ+cosθ=t，繼而利用三角函數基本關系，表示出設sinθcosθ，f（θ）轉換為f（t），進而函數的單調性求得函數的最小值．

解答： 解：（1）如圖，設圓弧FG所在的圓的圓心為Q，過Q點作CD的垂線，垂足為點T，且交MN或其延長線于S，并連結PQ，再過點N作TQ的垂線，垂足為W，在Rt△NWS中，因為NW=2，∠SNW=θ，所以NS=

2

cosθ

，
因為MN與圓弧FG切于點P，所以PQ⊥MN，在Rt△QPS中，因為PQ=1，∠PQS=θ，所以QS=

1

cosθ

，QT-QS=2-

1

cosθ

，
①S在線段TG上，則TS=QT-QS，
在Rt△STM中，MS=

TS

sinθ

=

QT-QS

sinθ

，
因此MN=NS+MS=NS+

QT-QS

sinθ

．
②若S在線段GT的延長線上，則TS=QS-QT，在Rt△STM中，
MS=

TS

sinθ

=

QT-QS

sinθ

，因此MN=NS-MS=NS-

QS-QT

sinθ

=NS+

QT-QS

sinθ

，
f（θ）=MN=NS+

QT-QS

sinθ

=

2

cosθ

+（

2

sinθ

-

1

sinθcosθ

）=

2sinθ+2cosθ-1

sinθcosθ

（0＜θ＜

π

2

），
a=f（

π

4

）=

2( 2 2 + 2 2 )-1

2 2 × 2 2

=4

2

-2
（2）不能大于a．
設sinθ+cosθ=t（1＜t≤

2

）則sinθcosθ=

t2-1

2

，因此f（θ）=g（t）=

4t-2

t2-1

，
令m=4t-2（2＜m≤4

2

-2），則

4t-2

t2-1

=

16m

m2+4m-12

=

16

m- 12 m +4

，
當2＜m≤4

2

-2時，上式單調遞減，所以g（t）_min=4

2

-2，即MN_min=4

2

-2．
所以一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為4

2

-2，即不能大于a．

點評：本題主要考查了解三角形問題的實際應用．考查了學生函數思想以及轉化與化歸的思想．