Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線為l，焦點為F，⊙M的同心在x軸的正半軸上，且與y軸相切，過原點作傾斜角為

π

3

的直線n，交l于點A，交⊙M于另一點B，且|AO|=|OB|=2．
（Ⅰ）求⊙M和拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的相線l₁、l₂，設l₁與拋物線C相交于點P、Q，l₂與拋物線C相交于點G、H，求

PG

•

HQ

的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）準線l交y軸于N（-

P

2

，0），由已知條件推導出p=2，OM=OB=2由此能求出⊙M的方程和拋物線的方程．
（Ⅱ）由題意知，直線l₁的斜率存在且不為0，設為k，由y²=4x，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由

PG

•

HQ

=（

PF

+

FG

）•（

HF

+

FQ

），利用均值定理得當且僅當k2=

1

k2

時，

PG

•

HQ

取最小值16．

解答： 解：（Ⅰ）準線l交y軸于N（-

P

2

，0），在Rt△OAN中，
∠OAN=

π

3

，∴|ON|=

|OA|

2

=1，∴p=2，
拋物線方程是y²=4x，
在△OMB中，OM=OB，∠MOB=

π

3

，
∴OM=OB=2，
∴⊙M的方程是（x-2）²+y²=4．
（Ⅱ）由題意知，直線l₁的斜率存在且不為0，設為k，
由y²=4x，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個實根，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1，
∵l₁⊥l₂，∴l₂的斜率為-

1

k

，
設G（x₃，y₃），H（x₄，y₄），則同理得x₃+x₄=2+4k²，x₃•x₄=1，
∴

PG

•

HQ

=（

PF

+

FG

）•（

HF

+

FQ

）
=

PF

•

HF

+

PF

•

FQ

+

FG

•

HF

+

FG

•

FQ

=|

PF

|•|

FQ

|+|

FG

|•|

HF

|
=（x₁+1）（x₂+1）+（x₃+1）（x₄+1）
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+x₂x₄+（x₃+x₄）+1
=1+2+

4

k2

+1+1+(2+4k2)+1
=8+4（

1

k2

+k2）≥8+4×2=16．
當且僅當k2=

1

k2

時，即k=±1時，

PG

•

HQ

取最小值16．

點評：本題考查圓的方程和拋物線方程的求法，考查向量的最小值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．