Question

【題目】數列{an}滿足an=2an﹣1+2n+1（n∈N* ， n≥2），a3=27．
（1）求a1 ， a2的值；
（2）是否存在一個實數t，使得bn= （an+t）（n∈N*），且數列{bn}為等差數列？若存在，求出實數t；若不存在，請說明理由；
（3）求數列{an}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由a3=27，27=2a2+23+1，

∴a2=9，

∴9=2a1+22+1∴a1=2

（2）解：假設存在實數t，使得{bn}為等差數列．

則2bn=bn﹣1+bn+1，

∴

∴4an=4an﹣1+an+1+t，

∴ ∴t=1，

存在t=1，使得數列{bn}為等差數列

（3）解：由（1）、（2）知： ，

又{bn}為等差數列. ∴ ，

∴Sn=3×20﹣1+5×21﹣1+7×22﹣1+…+（2n+1）×2n﹣1﹣1=3+5×2+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1﹣n

∴2Sn=3×2+5×22+7×23+…+（2n+1）×2n﹣2n∴﹣Sn=3+2×2+2×22+2×23+…+2×2n﹣1﹣（2n+1）×2n+n

=

=（1﹣2n）×2n+n﹣1Sn=（2n﹣1）×2n﹣n+1

【解析】（Ⅰ）利用an=2an﹣1+2n+1（n∈N，n≥2），a3=27，代入可求；（Ⅱ）假設存在實數t，使得{bn}為等差數列，從而有2bn=bn﹣1+bn+1 ， ．故可求；（Ⅲ）先求出數列的通項 ，再求和．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．