Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） 1 ； （2） (-, -]

【解析】

(1)利用絕對(duì)值三角不等式得到|x-a|-|x+m-a||m|≤1，即得實(shí)數(shù)m的最大值.(2)先化簡(jiǎn)函數(shù)g(x)得到分段函數(shù)，再根據(jù)分段函數(shù)的圖像有零點(diǎn)得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（1）因?yàn)?f(x)=|x-a|+3a, 所以f(x+m)=|x+m-a|+3a

所以 f(x)- f(x+m)= |x-a|-|x+m-a||m|

因?yàn)椴坏仁絝(x)- f(x+m)1 恒成立，所以|m|1

解得 -1m

故實(shí)數(shù) m 的最大值為 1 ．

（2）當(dāng)a時(shí)，g(x)=f(x)+|2x-1|=|x-a|+|2x-1|+3a=

所以g(x)min=g()=+2a0 .

解得a .

故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(-, －]