Question

【題目】如圖，設拋物線的準線與軸交于橢圓的右焦點，為左焦點，橢圓的離心率為，拋物線與橢圓交于軸上方一點，連接并延長交于點為上一動點，且在之間移動.

（1）當取最小值時，求和的方程；

（2）若的邊長恰好是三個連接的自然數，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1)，.(2).

【解析】分析：（1）用表示出，根據基本不等式得出的值，從而得出的方程；

（2）用表示出橢圓的方程，聯立方程組得出P點坐標，計算出的三邊關于的式子，從而確定的值，求出的距離和M到直線PQ的距離，利用二次函數性質得出三角形面積的最大值.

詳解：（1）因為，，

則，，

所以取最小值時，

此時拋物線，此時，

所以橢圓的方程為.

（2）因為，，則，，

設橢圓的標準方程為，，，

由，得，

所以或（舍去），

代入拋物線方程得，

即，

于是，，

又的邊長恰好是三個連續的自然數，

所以，此時拋物線方程為，

則直線的方程為，

聯立，得或（舍去）

于是.

所以，

設到直線的距離為，

則

當時，，

所以的面積最大值為.