Question

【題目】已知函數，其中．

Ⅰ當時，恒成立，求a的取值范圍；

Ⅱ設是定義在上的函數，在內任取個數，，，，，設，令，，如果存在一個常數，使得恒成立，則稱函數在區間上的具有性質P.試判斷函數在區間上是否具有性質P？若具有性質P，請求出M的最小值；若不具有性質P，請說明理由．注：

Answer 1

【答案】Ⅰ；Ⅱ具有，最小值為3

【解析】

Ⅰ當時，恒成立，可轉化為恒成立，進而轉化為函數最值問題解決；

Ⅱ先研究函數在區間上的單調性，然后對內的任意一個取數方法，根據性質P的定義分兩種情況討論即可：①存在某一個整數2，3，，，使得時，②當對于任意的1，2，3，，，時，，利用函數的單調性去絕對值，化簡，求的最小值.

Ⅰ當時，恒成立，即時，恒成立，

因為，所以恒成立，即在區間上恒成立，

所以，即，

所以即a的取值范圍是．

Ⅱ由已知，可知在上單調遞增，在上單調遞減，

對于內的任意一個取數方法，

當存在某一個整數2，3，，，使得時，

．

當對于任意的1，2，3，，，時，則存在一個實數k使得，

此時

，

當時，式，

當時，式，

當時，式．

綜上，對于內的任意一個取數方法，均有．

所以存在常數，使恒成立，

所以函數在區間上具有性質P．

此時M的最小值為3．