Question

已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為，一條漸近線m：x+y=0，設過點A（-3，0）的直線l的方向向量e=（1，k），
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過原點的直線a∥l，且a與l的距離為，求k的值；
（3）證明：當k＞時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為．

Answer 1

（1）解：由題意知，c=，=，再由c²=a²+b²，a=，b=1，∴雙曲線方程為：-y²=1．
（2）解：直線l的方程y-0=k（x+3），即 kx-y+3k=0．∵過原點的直線a∥l，∴直線a方程為：kx-y=0，
兩平行線間的距離，∴k=±．
（3）證明：設過原點且平行于l的直線b：kx-y=0，
則直線l與b的距離d=，當k＞時，d＞． 又雙曲線C的漸近線為x±y=0，
∴雙曲線C的右支在直線b的右下方，∴雙曲線C右支上的任意點到直線l的距離大于，
故在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為．
分析：（1）由焦點坐標漸近線方程及a、b、c 的關系求出a、b的值．
（2）先寫出2條平行線的方程，應用2條平行線間的距離公式求k的值，
（3）設過原點且平行于l的直線b：kx-y=0，曲線C右支上的任意點到直線l的距離大于此點到直線b：kx-y=0的距離，求得直線l和直線b的距離d＞，故在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，直線與圓錐曲線的位置關系，是一道中檔題．