Question

（12分）已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F(,0)，一條漸近線m:x+y=0，設(shè)過(guò)點(diǎn)A(－3,0)的直線l

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若過(guò)原點(diǎn)的直線a∥l，且a與l的距離為，求k的值；

（3）證明：當(dāng)k＞時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）－y2=1

（2）k=±

（3）略

【解析】（1）設(shè)雙曲線C的方程為x2－2y2=λ(λ＞0)，

∴λ+=3，解得λ=2. 雙曲線C的方程為－y2=1. （4分）

（2）直線l：kx－y+3k=0，直線a:kx－y=0.由題意，

得，解得k=±.(8分)

（3）證法一：設(shè)過(guò)原點(diǎn)且平行于l的直線b: kx－y=0，則直線l與b的距離d=，當(dāng)k＞時(shí)，d＞.(12分)

又雙曲線C的漸近線為x±y=0,

∴雙曲線C的右支在直線b的右下方，

∴雙曲線C右支上的任意點(diǎn)到直線l的距離大于.

故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為.