Question

已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為F(

3

，0)，一條漸近線m：x+

2

y=0，設過點A（-3

2

，0）的直線l的方向向量e=（1，k），
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過原點的直線a∥l，且a與l的距離為

6

，求k的值；
（3）證明：當k＞

2

2

時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為

6

．

Answer 1

分析：（1）由焦點坐標漸近線方程及a、b、c 的關系求出a、b的值．
（2）先寫出2條平行線的方程，應用2條平行線間的距離公式求k的值，
（3）設過原點且平行于l的直線b：kx-y=0，曲線C右支上的任意點到直線l的距離大于此點到直線b：kx-y=0的距離，求得直線l和直線b的距離d＞

6

，故在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為

6

．

解答：（1）解：由題意知，c=

3

，

b

a

=

2

2

，再由c²=a²+b²，a=

2

，b=1，∴雙曲線方程為：

x2

2

-y²=1．
（2）解：直線l的方程y-0=k（x+3

2

），即 kx-y+3

2

k=0．∵過原點的直線a∥l，∴直線a方程為：kx-y=0，
兩平行線間的距離

|3 2k |

1+k2

=

6

，∴k=±

2

2

．
（3）證明：設過原點且平行于l的直線b：kx-y=0，
則直線l與b的距離d=

3 2 |k|

1+k2

，當k＞

2

2

時，d＞

6

． 又雙曲線C的漸近線為x±

2

y=0，
∴雙曲線C的右支在直線b的右下方，∴雙曲線C右支上的任意點到直線l的距離大于

6

，
故在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為

6

．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，直線與圓錐曲線的位置關系，是一道中檔題．