Question

（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分8分。

已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為F，一條漸近線m:，設過點A的直線l的方向向量。

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若過原點的直線，且a與l的距離為，求K的值；

（3）證明：當時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為。

Answer 1

（1）

（2）

（3）證明見解析。

解析:

（1）設雙曲線的方程為，

   ，解得，雙曲線的方程為。

（2）直線，直線，

由題意，得，解得。

（3）證法一：設過原點且平行于的直線，

則直線與的距離，當時，，

又雙曲線的漸近線為，

  雙曲線的右支在直線的右下方，

  雙曲線右支上的任意點到直線的距離大于。

故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為。

證法二：假設雙曲線右支上存在點到直線的距離為，

則

由（1）得

設，

當時，；

將代入（2）得

，

 

  方程不存在正根，即假設不成立，

故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為。