Question

已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，一條漸近線m:,設(shè)過點(diǎn)A的直線l的方向向量。

（1）　　　 求雙曲線C的方程；　

（2）　　　 若過原點(diǎn)的直線，且a與l的距離為，求K的值；

（3）　　　 證明：當(dāng)時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為.

Answer 1

【解】（1）設(shè)雙曲線的方程為

   ，解額雙曲線的方程為

（2）直線，直線

由題意，得，解得

（3）【證法一】設(shè)過原點(diǎn)且平行于的直線

則直線與的距離當(dāng)時(shí)，

又雙曲線的漸近線為

  雙曲線的右支在直線的右下方，

  雙曲線右支上的任意點(diǎn)到直線的距離大于。

故在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為

【證法二】假設(shè)雙曲線右支上存在點(diǎn)到直線的距離為，

則

由（1）得

設(shè)，

當(dāng)時(shí)，；

將代入（2）得

，

  方程不存在正根，即假設(shè)不成立，

故在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為