Question

已知函數f（x）在R上滿足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在閉區間[0，7]上只有f（1）=f（3）=0．
（1）試判斷函數y=f（x）的奇偶性；
（2）試求方程f（x）=0在閉區間[-2014，2014]上根的個數，并證明你的結論．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可試判斷函數y=f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數在一個周期內的個數即可得到結論．

解答： 解：（1）∵函數f（x）在R上滿足f（2-x）=f（2+x），
∴當x=2時，f（0）=f（4）≠0，
∴函數f（x）不是奇函數．
∵f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），
∴f（-x）=f（4+x），f（-x）=f（14+x），
即f（4+x）=f（14+x），即f（x）=f（x+10），
即函數的周期是10，
∴f（-3）=f（-3+10）=f（7）≠0，
即f（-3）≠f（3），即函數f（x）不是偶函數．
即函數f（x）為非奇非偶函數．
（2）∵在閉區間[0，7]上只有f（1）=f（3）=0，
∴當7＜x≤10，方程f（x）=0無解，即在一個周期[0，10]，內方程的根只有1和3．
則在閉區間[-2010，2010]上含有402個周期，此時有2×402=804個根，
在區間（2010，2014]內，f（2011）=f（1）=0，f（2013）=f（3）=0，此時有2個根，
在區間[-2014，-2010）內，f（-2011）=f（9）≠0，f（-2012）=f（8）≠0，f（-2013）=f（7）≠0，f（-2014）=f（6）≠0，此時有0個根，
綜上共有804+2=806個根．

點評：本題主要考查抽樣函數的應用，考查函數奇偶性，周期性和對稱性的應用，綜合性較強，有一定的難度．