Question

【題目】

已知函數，．

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；

（2）若存在極小值時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，如果存在兩個不相等的正數，使得，求證：．

請考生在第22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個題目計分．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）由題可得，

依題意，即，解得．（2分）

（2）由（1）知，

當時，，在上單調遞增，無極值；

當時，時，時，

故的單調遞減區間為，單調遞增區間為，

所以函數的極小值為．（4分）

當時，，即，即恒成立．（5分）

令，則，

令，得，且當時，，當時，，

故為在上唯一的極大值點，也是最大值點，

所以，所以，即實數的取值范圍是．（7分）

（3）由（2）知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

設，則一定有．（8分）

構造函數，．（9分）

則．

因為，所以，即在上單調遞減，

所以，所以．（10分）

因為，所以，

因為，所以，

因為，所以，

因為函數在上單調遞增，所以，所以．（12分）