Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R且a≠0），F（x）= ．
（1）若f（﹣1）=0，且函數f（x）的值域為[0，+∞），求F（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[﹣2，2]時，g（x）=f（x）﹣kx是單調函數，求實數k的取值范圍；
（3）設mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函數，判斷F（m）+F（n）是否大于零．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣1）=0，

∴a﹣b+1=0，①

∵函數f（x）的值域為[0，+∞），

∴a＞0且判別式△=0，即b2﹣4a=0，②

由①②得a=1，b=2．

∴f（x）=ax2+bx+1=x2+2x+1．

∴F（x）=

（2）解：g（x）=f（x）﹣kx=x2+（2﹣k）x+1，

函數的對稱軸為x= ，

要使函數g（x）=f（x）﹣kx，在x∈[﹣2，2]上是單調函數，

則區間[﹣2，2]必在對稱軸的一側，

即 或 ，

解得k≥6或k≤﹣2．

即實數k的取值范圍是k≥6或k≤﹣2

（3）解：∵f（x）是偶函數，∴f（﹣x）=f（x），

即ax2﹣bx+1=ax2+bx+1，

∴2bx=0，解得b=0．

∴f（x）=ax2+1．

∴F（x）= ．

∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，

不妨設m＞n，則m＞0，n＜0，

∴F（m）+F（n）=am2+1﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）=a（m﹣n）（m+n），

∵m+n＞0，a＞0，m﹣n＞0，

∴F（m）+F（n）=a（m﹣n）（m+n）＞0

【解析】（1）利用f（﹣1）=0和函數f（x）的值域為[0，+∞），建立方程關系，即可求出a，b，從而確定F（x）的表達式；（2）在（1）的條件下，當x∈[﹣2，2]時，利用g（x）=f（x）﹣kx的單調區間與對稱軸之間的關系建立不等式進行求解即可．（3）利用mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函數，得到b=0，然后判斷F（m）+F（n）的取值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的判斷方法(單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)，還要掌握函數的奇偶性(偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱)的相關知識才是答題的關鍵．