Question

已知：f（x）=

a•2x-1-a

2x-1

為奇函數，
（Ⅰ）求函數的定義域；
（Ⅱ）求a的值；
（Ⅲ）求函數值域．

Answer 1

（Ⅰ）要使原函數有意義，則2^x-1≠0，解得：x≠0，所以，原函數的定義域為{x|x≠0}；
（Ⅱ）因為f（x）=

a•2x-1-a

2x-1

為奇函數，
所以有f（-x）+f（x）=0恒成立，即

a•2-x-1-a

2-x-1

+

a•2x-1-a

2x-1

=0恒成立，
整理得：

a-(a+1)•2x

1-2x

+

a•2x-1-a

2x-1

=0，
（a+1）•2^x-a+a•2^x-1-a=0，
也就是（2a+1）•（2^x-1）=0恒成立，
則a=-

1

2

．
（Ⅲ）把a=-

1

2

代入原函數得，f(x)=

- 1 2 •2x- 1 2

2x-1

=

1+2x

2(1-2x)

，
由y=

1+2x

2(1-2x)

，得2y-2y•2^x=1+2^x，
即2^x（2y+1）=2y-1，則2x=

2y-1

2y+1

，
由2x=

2y-1

2y+1

＞0，得：y＜-

1

2

，或y＞

1

2

．
所以，函數的值域為（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．