Question

已知函數f（x）=a•2^x+b•3^x，其中常數a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數f（x）的單調性；
（2）若a•b＜0，求f（x+1）＞f（x）時的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先把a•b＞0分為a＞0，b＞0與a＜0，b＜0兩種情況；然后根據指數函數的單調性即可作出判斷．
（2）把a•b＜0分為a＞0，b＜0與a＜0，b＞0兩種情況；然后由f（x+1）＞f（x）化簡得a•2^x＞-2b•3^x，再根據a的正負性得(

2

3

)x＞

-2b

a

或(

2

3

)x＜

-2b

a

；最后由指數函數的單調性求出x的取值范圍．

解答：解：（1）①若a＞0，b＞0，則y=a•2^x與y=b•3^x均為增函數，所以f（x）=a•2^x+b•3^x在R上為增函數；
②若a＜0，b＜0，則y=a•2^x與y=b•3^x均為減函數，所以f（x）=a•2^x+b•3^x在R上為減函數．
（2）①若a＞0，b＜0，
由f（x+1）＞f（x）得a•2^x+1+b•3^x+1＞a•2^x+b•3^x，
化簡得a•2^x＞-2b•3^x，即(

2

3

)x＞

-2b

a

，
解得x＜log

2

3

-2b

a

；
②若a＜0，b＞0，
由f（x+1）＞f（x）可得(

2

3

)x＜

-2b

a

，
解得x＞log

2

3

-2b

a

．

點評：本題主要考查指數函數的單調性及分類討論的方法．