Question

已知函數f（x）=

a+x

a-x

（常數a＞0），且f（1）+f（3）=-2．
（1）求a的值；
（2）試研究函數f（x）的單調性，并比較f（t）與2

2t+2

t

(-

3

2

＜t＜

3

2

且t≠0)的大小；
（3）設g（x）=

(2-x)f(x)

-m(x+2)-2，是否存在實數m使得y=g（x）有零點？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）有條件f（1）+f（3）=-2易得a的值．
（2）可利用定義討論函數的單調性．
（3）實際上是根的存在行問題，可以通過等價轉化求解．

解答：解：（1）由f（1）+f（3）=

a+1

a-1

+

a+3

a-3

=-2．
有a（a-2）=0．
又a＞0，所以a=2．
（2）由（1）知函數f（x）=

2+x

2-x

，
其定義域為（-∞，2）∪（2，+∞），
設x₁、x₂∈（-∞，2）且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

2+x1

2-x1

-

2+x2

2-x2

=

4(x1-x2)

(2-x1)(2-x2)

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在區間（-∞，2）上是增函數，同理可得，f（x）在區間（2，+∞）上是增函數．
令h（x）=

2x+2

x

=

2

x

+2，
則函數h（x）在區間（-∞，0），（0，+∞）上是減函數，
當t∈(-

2

3

，0)時，f（t）＞f(-

2

3

)=

1

2

，
h（t）＜h(-

2

3

)=-1，2^h（t）＜2^-1=

1

2

，
所以f（t）＞2

2t+2

t

．
當t∈(0，

3

2

)時，f（t）＜f(

3

2

)=7，h（t）＞h(

3

2

)=

10

3

，
2^h（t）＞2

10

3

＞2³=8，所以f（t）＜2

2t+2

t

．
綜上，當t∈(-

2

3

，0)時，f（t）＞2

2t+2

t

；
當t∈(0，

3

2

)時，f（t）＜2

2t+2

t

．
（3）g（x）=

2+x

-m(x+2)-2，x≠2．
由題意可知，方程

2+x

-m(x+2)-2=0在{x|x≥-2且x≠2}中有實數解，
令

2+x

=t，則t≥0且t≠2，
問題轉化為關于t的方程mt²-t+2=0①，
有非負且不等于2的實數根．
若t=0，則①為2=0，顯然不成立，
故t≠0，方程①可變形為m=-2(

1

t

)²+

1

t

，
問題進一步轉化為求關于t的函數（t≥0且t≠2）的值域，
因為t≥0且t≠2，所以

1

t

＞0且

1

t

≠

1

2

，
所以m=-2(

1

t

)²+

1

t

∈（-∞，0）∪（0，

1

8

]，
所以實數m的取值范圍是（-∞，0）∪（0，

1

8

]．

點評：本題主要考查了函數的單調性以及根的存在性問題，比較復雜，但解題方法均為基本方法，要求掌握．