Question

已知集合M={f（x）|f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y）}，x，y∈R，有下列命題：
①若f1(x)=

1，x≥0 -1，x＜0

則f₁（x）∈M；
②若f₂（x）=sinx，則f₂（x）∈M；
③若f（x）∈M，y=f（x）的圖象關于原點對稱；
④若f（x）∈M，則對任意不等的實數x₁、x₂，總有

f1(x)-f2(x)

x1-x2

＜0；
⑤若f（x）∈M，則對任意的實數x₁、x₂，總有f(

x1+x2

2

)≤

f1(x)+f2(x)

2

．
其中是正確的命題有

 

．（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

分析：通過舉反例，判斷出①錯；通過三角函數的和差公式判斷出②對；通過給x，y賦值及奇函數的定義判斷出③對；通過舉反例，判斷出④錯；通過舉反例判斷出⑤錯．

解答：解：對于①令x≥y≥0，f²（x）-f²（y）=0而f（x+y）f（x-y）=1，則易知①是錯誤的；
對于②f²（x）-f²（y）=sin²x-sin²y，f（x+y）f（x-y）=sin²x-sin²y有②f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y）
故②是正確的；
對于③令x=y=0可得f（0）=0；再令x=0，有f²（0）-f²（y）=f（y）f（-y）即f（y）（（fy）+f（-y））=0則有f（y）=0或f（-y）=-f（y），因此f（x）為奇函數，故③正確；
令f（x）=sinx∈M但f（x）在R上不具備單調性，故④錯，同樣借助f（x）=sinx的圖象，驗證⑤不正確
故答案為：②③

點評：本題考查三角函數的和、差角公式、考查奇函數的定義、考查利用舉反例的方法說明一個命題不成立．