Question

（2007•上海模擬）已知集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，g(x)=sin

πx

3

．
（1）判斷g（x）與M的關系，并說明理由；
（2）M中的元素是否都是周期函數，證明你的結論；
（3）M中的元素是否都是奇函數，證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據所給的函數的解析式，把函數代入f（x）+f（x+2）=f（x+1）進行驗證，得到三角函數符合集合的元素具有的條件，得到g（x）∈M．
（2）根據g（x）是周期為6的周期函數，猜測f（x）也是周期為6的周期函數，由f（x）+f（x+2）=f（x+1），得f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），得到f（x+3）=-f（x），得證f（x）是周期為6的周期函數．
（3）令h(x)=cos

πx

3

，可證得h（x）+h（x+2）=h（x+1），h（x）∈M，但h（x）是偶函數，不是奇函數，得到結論．

解答：解：（1）∵g(x)+g(x+2)=sin

πx

3

+sin(

πx

3

+

2π

3

)=2sin

π

3

(x+1)cos

π

3

=sin

π

3

(x+1)=g(x+1)∴g（x）∈M…（6分）
（2）因g（x）是周期為6的周期函數，猜測f（x）也是周期為6的周期函數
由f（x）+f（x+2）=f（x+1），得f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），
∴f（x）+f（x+2）+f（x+1）+f（x+3）=f（x+1）+f（x+2）
∴f（x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=-f（x），
∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），得證f（x）是周期為6的周期函數，
故M中的元素都是周期為6的周期函數．…（12分）
（3）令h(x)=cos

πx

3

，可證得h（x）+h（x+2）=h（x+1）…（16分）
∴h（x）∈M，但h（x）是偶函數，不是奇函數，
∴M中的元素不都是奇函數．…（18分）

點評：本題考查抽象函數的應用，考查函數的周期性，本題解題的關鍵是對于所給的抽象式的整理應用，本題是一個中檔題目．