Question

（2013•南充三模）已知集合M={f（x）|f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y），x，y∈R}，有下列命題
①若f₁（x）=

1，x≥0 -1，x＜0

則f₁（x）∈M；
②若f₂（x）=2x，則f₂（x）∈M；
③若f₃（x）∈M，則y=f₃（x）的圖象關于原點對稱；
④若f₄（x）∈M則對于任意不等的實數x₁，x₂，總有

f4(x1)-f4(x2)

x1-x2

＜0成立．
其中所有正確命題的序號是

②③

．

Answer 1

分析：①②可驗證時否符合集合的公共屬性；③證明是奇函數④可用特例來否定是減函數．

解答：解：①當f₁（x）=

1，x≥0 -1，x＜0

時可計算f²（x）-f²（y）與f（x+y）•f（x-y）不恒等．
②當f（x）=2x時，f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y）成立．
③令x=y=0，得f（0）=0
令x=0，則由f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y）得：
f（y）•f（-y）=-f²（y）
所以f（x）是奇函數，其圖象關于原點對稱．
④如函數f（x）滿足條件：f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y），但在定義域上是增函數
故只有②③正確
故答案為：②③

點評：本題主要考查元素與集合的關系及函數奇偶性、單調性的判斷．另外在解客觀題時可用特殊法，提高解題效率．