Question

已知集合M={f（x）|在定義域內存在實數x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立}．
（1）函數f（x）=

1

x

是否屬于集合M？說明理由．
（2）證明：函數f（x）=2^x+x²∈M．
（3）設函數f（x）=lg

a

2x+1

∈M，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）=

1

x

，令f（x+1）=f（x）+f（1）⇒x²+x+1=0，該方程無實數解，從而知函數f（x）=

1

x

不屬于集合M；
（2）令f（x+1）=f（x）+f（1），依題意可求得2^x-1+x-1=0，構造函數g（x）=2^x-1+x-1，利用零點存在定理即可證得結論；
（3）依題意可求得a=

3(2x+1)

2x+1+1

，設2^x=t＞0，通過分離常數易求a=

3t+3

2t+1

=

3

2

+

3 2

2t+1

，從而可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

x

，
令f（x+1）=f（x）+f（1），
則

1

x+1

=

1

x

+1=

x+1

x

，
∴（x+1）²=x，
即x²+x+1=0，
∵△=1²-4×1×1=-3＜0，
∴方程x²+x+1=0無實數解，即不存在x₀∈R，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，
∴函數f（x）=

1

x

不屬于集合M；
（2）令f（x+1）=f（x）+f（1），
則2^x+1+（x+1）²=2^x+x²+3，即2^x+1-2^x+2x-2=0，
整理得：2^x-1+x-1=0；
令g（x）=2^x-1+x-1，
∵g（0）=-

1

2

＜0，g（1）=1＞0，
∴g（x）在（0，1）內必然有解，即存在x₀∈R，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，
∴函數f（x）=2^x+x²∈M；
（3）∵lg

a

2x+1+1

=lg

a

2x+1

+lg

a

3

，
∴

a

2x+1+1

=

a2

3(2x+1)

，
∴a=

3(2x+1)

2x+1+1

，
設2^x=t＞0，
a=

3t+3

2t+1

=

3

2

+

3 2

2t+1

，
∵t＞0，
∴0＜

1

2t+1

＜1，
∴

3

2

＜

3

2

+

3 2

2t+1

＜3，
即a∈（

3

2

，3）．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查方程思想，考查構造函數思想及零點存在定理、分離常數法的綜合應用，屬于難題．