Question

【題目】已知直線經過橢圓: 的左頂點和上頂點，橢圓的右頂點為，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線與直線分別交于兩點。

（1）求橢圓方程；

（2）求線段的長度的最小值；

（3）當線段的長度最小時，在橢圓上有兩點，使得,的面積都為，求直線在y軸上的截距。

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)

【解析】

（1）因為直線過橢圓的左頂點與上頂點，故可解出直線與坐標軸的交點，即知橢圓的長半軸長與短半軸長，依定義寫出橢圓的方程即可．
（2）引入直線AS的斜率k，用點斜式寫出直線AS的方程，與l的方程聯立求出點M的坐標，以及點S的坐標，又點B的坐標已知，故可解 出直線SB的方程，亦用參數k表示的方程，使其與直線l聯立，求出點N的坐標，故線段MN的長度可以表示成直線AS的斜率k的函數，根據其形式選擇單調性法或者基本不等式法求最值，本題適合用基本不等式求最值．
（3）在上一問的基礎上求出的參數k，則直線SB的方程已知，可求出線段SB的長度，若使面積為，只須點T到直線BS的距離為 即可，由此問題轉化為研究與直線SB平行且距離為的直線與橢圓的交點個數問題，求出平行直線l'，即有得到y軸上的截距．

解（1）由已知得橢圓的左頂點 (-2，0)，上頂點（0，1），

得,故橢圓方程：

（2）直線AS的斜率k顯然存在，且大于0，故設直線AS：，

得

由得

設，則，可得

從而，即

B（2，0），直線BS：

可得，，

，當且僅當時，線段長度最小值為。

（3），直線BS的方程為，

橢圓上有兩點使三角形面積為，則點到BS的距離等于，

設直線：，由，得或

①當，聯立得，檢驗，符合題意。

②，聯立得，檢驗，舍去。

綜上所述，直線在y軸上的截距是