Question

【題目】已知定義在區間(0，＋∞)上的函數f(x)滿足＝f(x1)－f(x2)，且當x>1時，f(x)<0.

(1)證明：f(x)為單調遞減函數．

(2)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）-2

【解析】

（1）任取任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，進而可得>1，接下來結合已知即可確定與的大小關系，從而證得結果；

（2）由（1）的結論可知的最小值是，接下來結合已知可得，據此即可求得的值，得到結果.

解：(1)證明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，

則>1，由于當x>1時，f(x)<0，

所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，

因此f(x1)<f(x2)，

所以函數f(x)在區間(0，＋∞)上是單調遞減函數．

(2)因為f(x)在(0，＋∞)上是單調遞減函數，

所以f(x)在[2,9]上的最小值為f(9)．

由f＝f(x1)－f(x2)得，

f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，

所以f(9)＝－2.

所以f(x)在[2,9]上的最小值為－2.