Question

（2012•鐘祥市模擬）在△ABC中，E，F分別是AC，AB的中點，且3AB=2AC，若

BE

CF

＜t恒成立，則t的最小值為（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  7

  8

• C．1
• D．

  5

  4

Answer 1

分析：根據題意畫出相應的圖形，要求t的最小值，即要求BE與CF比值的最大值，方法為：由AB與AC的關系，用AB表示出AC，由E、F分別為AC、AB的中點，在三角形ABE中，由AB，AE及∠A，利用余弦定理表示出BE²，在三角形ACF中，由AF，AC及∠A，利用余弦定理表示出CF²，并表示出BE與CF的平方比，開方并分離出常數，由A為三角形的內角，得到A的范圍，觀察表示出的比值發現當cosA的值最小時，比值最大，故當A趨于π時，cosA趨于-1，此時比值最大，求出此時的最大值，即可得到t的取值范圍．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：

∵3AB=2AC，
∴AC=

3

2

AB，
又E、F分別為AC、AB的中點，∴AE=

1

2

AC，AF=

1

2

AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cosA
=AB²+（

3

4

AB）²-2AB•

3

4

AB•cosA=

25

16

AB²-

3

2

AB²cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF²=AF²+AC²-2AF•AC•cosA
=（

1

2

AB）²+（

3

2

AB）²-2•

1

2

AB•

3

2

AB•cosA=

5

2

AB²-

3

2

AB²cosA，
∴

BE2

CF2

=

25 16 AB2- 3 2 AB2cosA

5 2 AB2- 3 2 AB2cosA

=

25 16 - 3 2 cosA

5 2 - 3 2 cosA

，
∴

BE

CF

=

25 16 - 3 2 cosA 5 2 - 3 2 cosA

=

1- 15 40-24cosA

，
∵當cosA取最小值時，

BE

CF

比值最大，
∴當A→π時，cosA→-1，此時

BE

CF

達到最大值，最大值為

1- 15 40+24

=

7

8

，
則

BE

CF

＜t恒成立，t的最小值為

7

8

．
故選B

點評：此題考查了余弦定理，余弦函數的定義域與值域，以及不等式恒成立時滿足的條件，余弦定理建立了三角形的邊角關系，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．