Question

如圖所示的曲線C由曲線C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0，y≥0）和曲線C₂：x²+y²=a²（y＜0）組成，已知曲線C₁過點(diǎn)（

3

，

1

2

），離心率為

3

2

，點(diǎn)A，B分別為曲線C與x軸、y軸的一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求曲線C₁和C₂的方程；
（2）若點(diǎn)Q是曲線C₂上的任意一點(diǎn)，求△QAB面積的最大值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)F為曲線C₁的右焦點(diǎn)，直線l；y=kx+m與曲線C₁相切于點(diǎn)M，且與直線x=

4 3

3

交于點(diǎn)N，過點(diǎn)P做MN，垂足為H，求證|FH|²=|MH|+|HN|．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

3

a2

+

1

4b2

=1，e=

3

2

由此能求出曲線C₁的方程和曲線C₂的方程．
（2）由（1）知AB所在直線為x-2y+2=0，由題意知當(dāng)曲線C₂在點(diǎn)Q上的切線與直線AB平行時(shí)，△QAB面積最大，由此能求出△QAB面積的最大值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（3）設(shè)M（x₀，y₀），由

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由直線l與曲線C₁相切于M，得m²=4k²+1，由此利用向量知識(shí)結(jié)合已知條件能證明|FH|²=|MH|+|HN|．

解答： （1）解：由已知得

3

a2

+

1

4b2

=1，①
又e=

3

2

，∴

a2-b2

a2

=

3

4

，即a²=4b²，②
由①②得a²=4，b²=1，
∴曲線C₁的方程為

x2

4

+y2=1．（y≥0）．
曲線C₂的方程為x²+y²=4（y＜0）．
（2）解：由（1）知A（-2，0），B（0，1），
∴AB所在直線為x-2y+2=0，
由題意知當(dāng)曲線C₂在點(diǎn)Q上的切線與直線AB平行時(shí)，△QAB面積最大，
設(shè)此時(shí)切線方程為x-2y+t=0，t＜0，
由直線與圓相切得：

|t|

5

=2，∴t=-2

5

或t=2

5

（舍）
此時(shí)△QAB的高為：h=

|2-(-2 5 )|

5

=2+

2 5

5

，
（S_△QAB）_min=

1

2

|AB|•h=

1

2

×

5

×(2+

2 5

5

)=

5

+1，
由

x-2y-2 5 =0 x2+y2=4

，得x=

2 5

5

，y=-

4 5

5

，∴Q（

2 5

5

，-

4 5

5

），
∴△QAB面積的最大值為

5

+1，此時(shí)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（

2 5

5

，-

4 5

5

）．
（3）證明：由題意得F（

3

，0），N（

4 3

3

，

4 3 k

3

+m），
設(shè)M（x₀，y₀），由

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
又直線l與曲線C₁相切于M，
∴△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=0，
即m²=4k²+1，
x0=

1

2

×(-

8km

1+4k2

)=-

4km

1+4k2

，y0=kx0+m=

m

1+4k2

，
∴M（-

4km

1+4k2

，

m

1+4k2

），
∴

FM

=(-

4km

1+4k2

-

3

，

m

1+4k2

)，

FN

=(

3

3

，

4 3k

3

+m)，

FM

•

FN

=（-

4km

1+4k2

-

3

）×

3

3

+

m

1+4k2

×(

4 3 k

3

+m)
=

-4 3 km

3(1+4k2)

-1+

4 3 km+3m2

3(1+4k2)

=

m2

1+4k2

-1，
又m²=4k²+1，∴

FM

•

FN

=0，
∴

FM

•

FN

=0，∴△MFN為直角三角形，
在Rt△MFN中，F(xiàn)H⊥MN，∴|FH|²=|MH|+|HN|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查三角形面積的最大值的相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．