Question

已知函數f(x)＝ln(x＋1)－x2－x.

(1)若關于x的方程f(x)＝－x＋b在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍；

(2)證明：對任意的正整數n，不等式2＋＋＋…＋ >ln(n＋1)都成立．

 

Answer 1

(1) ln 3－1≤b<ln 2＋. (2)見解析

【解析】(1)f(x)＝ln(x＋1)－x2－x，由f(x)＝－x＋b，得ln(x＋1)－x2＋x－b＝0，

令φ(x)＝ln(x＋1)－x2＋x－b，則f(x)＝－x＋b在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根等價于φ(x)＝0在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，φ′(x)＝－2x＋＝ ，

當x∈[0，1)時，φ′(x)>0，于是φ(x)在[0，1)上單調遞增；

當x∈(1，2]時，φ′(x)<0，于是φ(x)在(1，2]上單調遞減．

依題意有

解得ln 3－1≤b<ln 2＋.

(2)證明：方法一，f(x)＝ln(x＋1)－x2－x的定義域為{x|x>－1}，則有f′(x)＝，

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－(舍去)，

當－1<x<0時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；

當x>0時，f′(x)<0，f(x)單調遞減．

∴f(0)為f(x)在(－1，＋∞)上的最大值．

∴f(x)≤f(0)，故ln(x＋1)－x2－x≤0(當且僅當x＝0時，等號成立)．

對任意正整數n，取x＝>0得，ln<＋，

∴ln<.

故2＋＋…＋≥ln 2＋ln＋…＋ln ＝ln(n＋1)．

方法二，數學歸納法證明：

當n＝1時，左邊＝＝2，右邊＝ln(1＋1)＝ln 2，顯然2>ln 2，不等式成立．

假設當n＝k(k∈N*，k≥1)時，2＋>ln(k＋1)成立，

則當n＝k＋1時，有2＋＋ln(k＋1)．

做差比較：ln(k＋2)－ln(k＋1)－＝ln －＝ln－.

構建函數F(x)＝ln(1＋x)－x－x2，x∈(0，1)，

則F′(x)＝<0，

∴F(x)在(0，1)上單調遞減，∴F(x)<F(0)＝0.

取x＝(k≥1，k∈N*)，ln－<F(0)＝0.

即ln(k＋2)－ln(k＋1)－<0，

亦即＋ln(k＋1)>ln(k＋2)，

故n＝k＋1時，有2＋＋ln(k＋1)>ln(k＋2)，不等式也成立．

綜上可知，對任意的正整數，不等式都成立．