Question

已知向量p＝(an，2n)，q＝(2n＋1，－an＋1)，n∈N*，p與q垂直，且a1＝1.

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)若數列{bn}滿足bn＝log2an＋1，求數列{an·bn}的前n項和Sn.

 

Answer 1

（1）2n－1（2）Sn＝1＋(n－1)2n

【解析】(1)∵向量p與q垂直，

∴2nan＋1－2n＋1an＝0，即2nan＋1＝2n＋1an，

∴＝2，∴{an}是以1為首項，2為公比的等比數列，

∴an＝2n－1.

(2)∵bn＝log2an＋1，∴bn＝n，∴an·bn＝n·2n－1，

∴Sn＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n·2n－1，①

∴2Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n，②

∴由①－②得，

－Sn＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)2n－1，

∴Sn＝1＋(n－1)2n.