Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（Ⅰ）試討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)存在極值，對于任意的，存在正實(shí)數(shù)，使得 ，試判斷與的大小關(guān)系并給出證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ），證明見解析

【解析】

（Ⅰ）求得的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，討論和，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，即可得到所求單調(diào)性；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，存在極值．由條件知，求出，，作差，運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求大小關(guān)系．

解：（Ⅰ）因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>，

屬于，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，則由得或（舍去），

故時(shí)，；時(shí)，，

所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，存在極值．

，

由條件知，，

又，

則

，

設(shè)，由，可得，

則，

令，，

可得 恒成立，

則在單調(diào)遞增，則（1），

則，即，

則，

即，

又在上單調(diào)遞減，

則，

即有．