Question

【題目】如圖，是由兩個全等的菱形和組成的空間圖形，，∠BAF＝∠ECD＝60°.

（1）求證：；

（2）如果二面角B－EF－D的平面角為60°，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點，連接、，.利用菱形的性質、等邊三角形的性質分別證得，，由此證得平面，進而求得，根據空間角的概念，證得.

（2）根據（1）得到就是二面角的平面角，即，由此求得的長.利用等體積法計算出到平面的距離，根據線面角的正弦值的計算公式，計算出直線與平面所成角的正弦值.

（1）取的中點，連接、，.在菱形中，

∵，∴是正三角形，∴，

同理在菱形，可證，∴平面，∴，

又∵，∴.

（2）由（1）知，就是二面角的平面角，即，

又，所以是正三角形，故有，

如圖，取的中點，連接，則，又由（1）得，

所以，平面，且，又，在直角中，，

所以，設到平面的距離為，則

，

，所以，

故直線與平面所成角正弦值為.