Question

【題目】已知命題：函數在上單調遞增；命題：函數在上單調遞減.

（Ⅰ）若是真命題，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若或為真命題，且為假命題，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據題意轉化為在上恒成立，由二次函數的圖像與性質即可求解.

（Ⅱ）根據復合命題的真假性可得與一真一假，當真且假時，則，當假且真時，則，解不等式組即可求解.

（Ⅰ）當命題為真命題時，

函數在上單調遞減，

所以在上恒成立.

所以在上單調遞減，故，

解得，

所以是真命題，實數的取值范圍為.

（Ⅱ）命題為真命題時，函數在上單調遞增，∴.

因為或為真命題，且為假命題，所以與的真值相反.

（ⅰ）當真且假時，有，此不等式無解.

（ⅱ）當假且真時，有

解得或.

綜上可得，實數的取值范圍為.