Question

【題目】如圖，在三棱錐中，底面是邊長為4的正三角形，，底面，點分別為，的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

（1）先證明，，可得平面從而平面平面；

（2）由題意可知兩兩垂直，分別以方向為軸建立坐標系，求出平面的法向量及，代入公式可得未知量的方程，解之即可.

（1）證明：∵，為的中點，

∴

又平面，平面，∴

∵

∴平面

∵平面

∴平面平面

（2）解：如圖，由（1）知，，，點，分別為的中點，

∴，∴，，又，

∴兩兩垂直，分別以方向為軸建立坐標系.

則，，，，

設，

所以

，，設平面的法向量，則

，，令，則，，

∴

由已知 或（舍去）

故

故線段上存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，

此時為線段的中點.