Question

【題目】已知函數是奇函數（其中）

（1）求實數m的值；

（2）已知關于x的方程在區間上有實數解，求實數k的取值范圍；

（3）當時，的值域是，求實數n與a的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），.

【解析】

（1）由f（x）是奇函數，f（﹣x）＝﹣f（x），結合對數的真數大于0求出m的值；

（2）由題意問題轉化為求函數在x∈[2，6]上的值域，求導判斷出單調性，進而求得值域，可得k的范圍．

（3）先判定函數的單調性，進而由x時，f（x）的值域為（1，+∞），根據函數的單調性得出n與a的方程，從而求出n、a的值．

（1）∵f（x）是奇函數，

∴f（﹣x）＝﹣f（x），

∴logalogaloga，

∴，

即1﹣m2x2＝1﹣x2對一切x∈D都成立，

∴m2＝1，m＝±1，

由于0，∴m＝﹣1；

（2）由（1）得，，∴

即，令，

則，

∴在區間上單調遞減，當時，；當時，；所以，.

（3）由（1）得，，且

∵在與上單調遞減

∵x∈（n，a﹣2），定義域D＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

①當n≥1時，則1≤n＜a﹣2，即a＞1+2，

∴f（x）在（n，a﹣2）上為減函數，值域為（1，+∞），

∴f（a﹣2）＝1，

即a，

∴a3，或a1（不合題意，舍去），且n＝1；

②當n＜1時，則（n，a﹣2）（﹣∞，﹣1），

∴n＜a﹣21，

即a＜21，

且f（x）在（n，a﹣2）上的值域是（1，+∞）；

∴f（a﹣2）＝1，

即a，

解得a3（不合題意，舍去），或a1；

此時n＝﹣1（舍去）；

綜上，a3，n＝1．