【題目】已知橢圓
的離心率為
其右頂點為
，下頂點為
，定點
，
的面積為
過點
作與
軸不重合的直線
交橢圓于
兩點，直線
分別與
軸交于
兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）試探究的橫坐標的乘積是否為定值，說明理由.
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【題目】已知橢圓
的兩個焦點分別為
，長軸長為
．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程及離心率；
（Ⅱ）過點
的直線
與橢圓交于
，
兩點，若點
滿足
，求證：由點 構成的曲線
關于直線
對稱．
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【題目】如圖，空間直角坐標系中，四棱錐
的底面是邊長為
的正方形，且底面在
平面內，點
在
軸正半軸上，
平面
，側棱
與底面所成角為45°；
（1）若
是頂點在原點，且過
、
兩點的拋物線上的動點，試給出
與滿足的關系式；
（2）若
是棱上的一個定點，它到平面的距離為
（
），寫出、
兩點之間的距離
，并求的最小值；
（3）是否存在一個實數（），使得當取得最小值時，異面直線
與
互相垂直？請說明理由；
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【題目】將所有平面向量組成的集合記作
，
是從到的映射，記作
或
，其中
都是實數.定義映射的模為:在
的條件下
的最大值記做
.若存在非零向量
，及實數
使得
，則稱為的一個特征值.
（1）若
求；
（2）如果
,計算的特征值，并求相應的
；
（3）試找出一個映射，滿足以下兩個條件:①有唯一特征值，②
.(不需證明)
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【題目】對于函數y=f(x),x∈D，若存在閉區間[a，b]
和常數C，使得對任意x∈[a，b]都有f(x)=C，稱f(x)為“橋函數”.
（1）作出函數
的圖象，并說明f(x)是否為“橋函數”？（不必證明）
（2）設f(x)定義域為R，判斷“f(x)為奇函數”是“
為’橋函數’”的什么條件？給出你的結論并說明理由;
（3）若函數
是“橋函數”，求常數m、n的值.
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【題目】一個函數
，如果對任意一個三角形，只要它的三邊長
、
、
都在的定義域內，就有
、
、
也是某個三角形的三邊長，則稱為“雙三角形函數”.
（1）判斷
，
，
中，哪些是“雙三角形函數”，哪些不是，并說明理由；
（2）若
是定義在
上周期函數，值域為
，求證：不是“雙三角形函數”；
（3）已知函數
，
，求證：函數
是“雙三角形函數”.（可利用公式“
”）
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【題目】選修4—4：極坐標與參數方程
在平面直角坐標系
中，將曲線
(
為參數) 上任意一點
經過伸縮變換
后得到曲線
的圖形．以坐標原點
為極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線
．
（Ⅰ）求曲線
和直線
的普通方程；
（Ⅱ）點P為曲線
上的任意一點，求點P到直線
的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標．
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【題目】已知正方體
的棱長為2，
為體對角線
上的一點，且
，現有以下判斷：①
；②若
平面
，則
；③
周長的最小值是
；④若為鈍角三角形，則
的取值范圍為
，其中正確判斷的序號為______.
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