Question

【題目】已知，若，，使成立，則實數的取值范圍是_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

問題等價于“當x∈[e，e2]時，有f（x）max≤f′（x）max+a”，利用導數性質結合分類討論思想，能求出實數a的取值范圍．

若，，使成立，

等價于“當x∈[e，e2]時，有f（x）max≤f′（x）max+a”，

當x∈[e，e2]時，lnx∈[1，2]，∈[，1]，

f′（x）＝﹣a+＝﹣（﹣）2+﹣a，

f′（x）max+a＝，

問題等價于：“當x∈[e，e2]時，有f（x）max≤”，

①當﹣a≤﹣，即a≥時，

f′（x）＝﹣a+＝﹣（﹣）2+﹣a＜0，

f（x）在[e，e2]上為減函數，

則f（x）max＝f（e）＝e﹣ae＝e（1﹣a）≤，

∴a≥1﹣＝，

②當﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜時，∵x∈[e，e2]，∴∈[，1]，

∵f′（x）＝﹣a+，由復合函數的單調性知f′（x）在[e，e2]上為增函數，

∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）＝0且滿足：f（x）在[e，x0）遞減，在（x0，e2]遞增，

f（x）max＝f（e）或f（e2），而f（e2）＝﹣ae2，

故﹣ae2≤，解得：a≥﹣，無解舍去；

綜上，實數a的取值范圍為

故答案為：．