Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，其左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.

（1）求橢圓的方程；

（2）過動點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，在第一象限，，過點(diǎn)做軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，連接并延長交橢圓于另一點(diǎn).設(shè)直線的斜率分別為，證明：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）先由拋物線方程求得拋物線的焦點(diǎn)，可得c=1，再由橢圓的離心率可求得a，再由a，b，c的關(guān)系可以求出b，然后得到橢圓的方程.

（2）由直線過x軸上定點(diǎn)，所以設(shè)出直線的橫截式方程，先計算B點(diǎn)坐標(biāo)，又因?yàn)?/span>，所以根據(jù)線段的比例關(guān)系可以得到A的坐標(biāo)，再由對稱關(guān)系得到D點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式計算直線DT的斜率，然后求比值.

（1）由題意可知題意的左焦點(diǎn)為，因?yàn)殡x心率為，

所以，

所以題意的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，（），則

，可求得；

因?yàn)?/span>，

所以，且，

所以，

所以為定值.