Question

【題目】如圖，四棱錐中， 為等邊三角形，且平面平面， ， ， .

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）若直線與平面所成角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】證明見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）取的中點為，連接， ，結合條件可證得平面，于是，又，故可得．（Ⅱ）由題意可證得， ， 兩兩垂直，建立空間直角坐標系，通過求出平面和平面的法向量可求解本題．

試題解析：

證明：（Ⅰ）取的中點為，連接， ，

∵為等邊三角形，

∴.

在底面中，可得四邊形為矩形，

∴，

∵，

∴平面，

∵平面，

∴.

又，

∴.

（Ⅱ）∵平面面， ，

∴平面，

由此可得， ， 兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系．

∵直線與平面所成角為，即，

由，知，得.

則， ， ， ，

， ， ，

設平面的一個法向量為.

由，得．

令，則．

設平面的一個法向量為，

由，得．

令，則，

∴ ，

由圖形知二面角為鈍角，

∴二面角的余弦值為.